この言葉は「平穏無事に過ごしております。」という意味です。

『人をさす恙虫（つつがむし）がいなければ安穏である』という説が語源のようです。

年末年始のご挨拶などで活躍しそうな言葉ですよね。

ただひとつ注意したいことは、「恙なく」は「何か問題が起きても不思議ではない状況で、何も起こらなかった」時に使う表現であることです。特に問題がない状況で使用することは適切でないとのこと。でも、このパンデミック下においては、平時より使用頻度は高いのかもしれないですね。